数学期望（Mathematical Expectation）是概率论与统计学中的核心概念，表示随机变量所有可能取值的加权平均值，权重为对应取值的概率。它反映了随机变量在大量重复实验中的“长期平均”水平，是描述随机现象总体动向的重要指标。下面内容从定义、性质、与平均值的区别及应用展开说明：

一、数学期望的定义

1. 基本定义

数学期望是随机变量取值的概率加权和：

[

E(X) = sum x_i cdot p_i

]

例：掷骰子时，点数的期望 (E(X) = 1 cdot frac1}6} + 2 cdot frac1}6} + cdots + 6 cdot frac1}6} = 3.5)。

[

E(X) = int_-infty}^infty} x cdot f(x) , dx

]

例：均匀分布 (X sim U(a,b)) 的期望 (E(X) = fraca+b}2})。

2. 直观领会

期望是随机变量的“学说平均值”，但不一定等于实际观测值。例如：

二、核心性质

数学期望具有下面内容关键性质：

1. 线性性

例：两轮游戏得分期望分别为 (3.5) 和 (7)，总期望为 (10.5)。

2. 独立变量的乘积

若 (X) 与 (Y) 独立，则 (E(XY) = E(X) cdot E(Y))。

3. 函数的期望

随机变量函数 (g(X)) 的期望为 (E[g(X)] = sum g(x_i) p_i)（离散）或 (int g(x) f(x) , dx)（连续）。

三、期望 vs. 平均值：关键区别

虽然期望常被称为“均值”，但不同于实际数据的算术平均值：

| 特征 | 数学期望 | 平均值 |

| 所属领域 | 概率论（学说分布） | 统计学（实际样本） |

| 计算依据 | 概率权重 | 样本数据均等权重 |

| 依赖条件 | 由概率分布唯一确定 | 依赖具体样本 |

| 与大数定律关系 | 样本量 (N

o infty) 时，平均值趋近期望 | 有限样本的统计结局 |

> 例：抛 (100) 次，正面向上的次数期望是 (50)，但实际平均值可能是 (48) 或 (52)，样本越大越接近 (50)。

四、常见分布的期望公式

下面内容是典型分布的期望

| 分布类型 | 分布名称 | 期望公式 | 例子 |

| 离散分布 | 二项分布 | (E(X) = np) | (n)次试验成功次数的期望 |

| | 泊松分布 | (E(X) = lambda) | 单位时刻内事件发生次数的期望 |

| 连续分布 | 正态分布 | (E(X) = mu) | 分布的对称中心 |

| | 指数分布 | (E(X) = 1/lambda) | 等待时刻的平均 |

五、实际应用场景

1. 风险评估与决策

2. 算法设计

3. 科学计算

六、拓展资料

数学期望是随机现象长期规律的核心刻画，通过概率加权平均预测“理想情形”下的取值水平。它区别于实际均值，但在大样本下成为均值收敛的目标。领会期望的线性性、独立可乘性及分布特性，是应用其在金融、算法、工程等领域的基础。本质上，期望是连接概率学说与现实全球的桥梁。